We present a method for approximating the solution of a parameterized,
nonlinear dynamical (or static) system using an affine combination of solutions
computed at other points in the input parameter space. The coefficients of the
affine combination are computed with a nonlinear least squares procedure that
minimizes the residual of the dynamical system. The approximation properties of
this residual minimizing scheme are comparable to existing reduced basis and
POD-Galerkin model reduction methods, but its implementation requires only
independent evaluations of the nonlinear forcing function. We prove some
interesting characteristics of the scheme including uniqueness and an
interpolatory property, and we present heuristics for mitigating the effects of
the ill-conditioning and reducing the overall cost of the method. We apply the
method to representative numerical examples from kinetics - a three state
system with one parameter controlling the stiffness - and groundwater modeling
- a nonlinear parabolic PDE with a random field model for the hydraulic
conductivity.
viernes, 3 de diciembre de 2010
Residual Minimizing Model Reduction for Parameterized Nonlinear Dynamical Systems. (arXiv:1012.0351v1 [math.NA])
La mecánica cuántica que le hubiera gustado conocer a Einstein
Una mecánica cuántica “realista” y ”relativa” (que no relativista) es la propuesta de Griffiths (1984) y Gell-Mann y Hartle (1993) en la llamada Teoría Cuántica Consistente. Una mecánica cuántica muy al gusto de Einstein, bordeando las “paradojas” y con la complementaridad como principio fundacional. “Realista” porque los objetos tienen propiedades reales. “Relativa” porque la única forma de explorar/conocer/medir dichas propiedades es definiendo un “marco” y un marco solo permite explorar ciertas propiedades, pero no todas y no todas simultáneamente. Lo más importante, es que la Teoría Cuántica Consistente es solo una interpretación de la mecánica cuántica no relativista y conduce a los mismos resultados para todos los experimentos que ella. Lo que cambia es la interpretación, que podríamos llamar versión “realista” de la interpretación de Copenhaguee. Los objetos cuánticos tienen propiedades bien definidas pero para describirlas mediante una función de onda hay que utilizar un “marco” (que conlleva una base del espacio de Hilbert de estados) y el mismo sistema físico puede que tenga que ser descrito de forma complementaria por varios marcos diferentes. Las bases de un espacio de Hilbert son equivalentes entre sí, pero los marcos no lo son. La medida de las propiedades de un sistema físico “preparado” según cierto marco solo permite medir los atributos asociados a dicho marco. Cuando se cambia de marco, o si se utiliza otro marco diferente para medir, es como si la función de onda colapasara, pero no hay física (o dinámica) en este colapso, que es un mero artificio interpretativo (necesario para utilizar el concepto de función de onda para describir la realidad cuántica). ¿Cómo resuelve la teoría cuántica consistente el problema del gato de Schrödinger? Muy fácil. Hay (al menos) dos descripciones diferentes de este sistema en dos marcos diferentes. El marco unitario, en el que la función de onda (y los objetos) pueden estar en estados de superposición, y el marco macroscópico, en el que la superposición de estados no es aplicable. En el marco unitario no existe el concepto de “gato” (no se puede medir un “gato” ni se puede medir una superposición de dos estados de un gato). En el marco macroscópico existe el concepto de gato y un gato puede estar vivo o muerto, pero en este marco no se pueden realizar superposiciones, no hay estados vivo-muerto en los que un gato está a la vez vivo y muerto. Curiosa solución salomónica de la paradoja. Los interesados en los detalles matemáticos y físicos disfrutarán con P. C. Hohenberg (Department of Physics, New York University, NY, USA), “Colloquium: An introduction to consistent quantum theory,” Reviews of Modern Physics 82: 2835-2844, Oct.-Dec. 2010 [gratis en ArXiv]; versión resumida en inglés. El artículo discute el problema de la medida, el colapso de la función de onda, el entrelazamiento (entanglement), la decoherencia, las paradojas de Einstein-Podolsky-Rosen, las desigualdades de Bell y otras sutilezas en el contexto de la teoría cuántica consistente. El artículo me ha resultado un lectura refrescante y creo que los profesores de física cuántica disfrutarán con los argumentos (ideales para discutir en clase con los alumnos).
Filed under: Ciencia, Física, Mecánica Cuántica, Physics, Science Tagged: Ciencia, Física, física cuántica, física teórica, Mecánica Cuántica, Noticias
"
La mecánica cuántica que le hubiera gustado conocer a Einstein
Una mecánica cuántica “realista” y ”relativa” (que no relativista) es la propuesta de Griffiths (1984) y Gell-Mann y Hartle (1993) en la llamada Teoría Cuántica Consistente. Una mecánica cuántica muy al gusto de Einstein, bordeando las “paradojas” y con la complementaridad como principio fundacional. “Realista” porque los objetos tienen propiedades reales. “Relativa” porque la única forma de explorar/conocer/medir dichas propiedades es definiendo un “marco” y un marco solo permite explorar ciertas propiedades, pero no todas y no todas simultáneamente. Lo más importante, es que la Teoría Cuántica Consistente es solo una interpretación de la mecánica cuántica no relativista y conduce a los mismos resultados para todos los experimentos que ella. Lo que cambia es la interpretación, que podríamos llamar versión “realista” de la interpretación de Copenhaguee. Los objetos cuánticos tienen propiedades bien definidas pero para describirlas mediante una función de onda hay que utilizar un “marco” (que conlleva una base del espacio de Hilbert de estados) y el mismo sistema físico puede que tenga que ser descrito de forma complementaria por varios marcos diferentes. Las bases de un espacio de Hilbert son equivalentes entre sí, pero los marcos no lo son. La medida de las propiedades de un sistema físico “preparado” según cierto marco solo permite medir los atributos asociados a dicho marco. Cuando se cambia de marco, o si se utiliza otro marco diferente para medir, es como si la función de onda colapasara, pero no hay física (o dinámica) en este colapso, que es un mero artificio interpretativo (necesario para utilizar el concepto de función de onda para describir la realidad cuántica). ¿Cómo resuelve la teoría cuántica consistente el problema del gato de Schrödinger? Muy fácil. Hay (al menos) dos descripciones diferentes de este sistema en dos marcos diferentes. El marco unitario, en el que la función de onda (y los objetos) pueden estar en estados de superposición, y el marco macroscópico, en el que la superposición de estados no es aplicable. En el marco unitario no existe el concepto de “gato” (no se puede medir un “gato” ni se puede medir una superposición de dos estados de un gato). En el marco macroscópico existe el concepto de gato y un gato puede estar vivo o muerto, pero en este marco no se pueden realizar superposiciones, no hay estados vivo-muerto en los que un gato está a la vez vivo y muerto. Curiosa solución salomónica de la paradoja. Los interesados en los detalles matemáticos y físicos disfrutarán con P. C. Hohenberg (Department of Physics, New York University, NY, USA), “Colloquium: An introduction to consistent quantum theory,” Reviews of Modern Physics 82: 2835-2844, Oct.-Dec. 2010 [gratis en ArXiv]; versión resumida en inglés. El artículo discute el problema de la medida, el colapso de la función de onda, el entrelazamiento (entanglement), la decoherencia, las paradojas de Einstein-Podolsky-Rosen, las desigualdades de Bell y otras sutilezas en el contexto de la teoría cuántica consistente. El artículo me ha resultado un lectura refrescante y creo que los profesores de física cuántica disfrutarán con los argumentos (ideales para discutir en clase con los alumnos).
Filed under: Ciencia, Física, Mecánica Cuántica, Physics, Science Tagged: Ciencia, Física, física cuántica, física teórica, Mecánica Cuántica, Noticias
"