Error Analysis of Approximated PCRLBs for Nonlinear Dynamics. (arXiv:1005.5348v1 [stat.AP])

Error Analysis of Approximated PCRLBs for Nonlinear Dynamics. (arXiv:1005.5348v1 [stat.AP]): "

In practical nonlinear filtering, the assessment of achievable filtering
performance is important. In this paper, we focus on the problem of efficiently
approximate the posterior Cramer-Rao lower bound (CRLB) in a recursive manner.
By using Gaussian assumptions, two types of approximations for calculating the
CRLB are proposed: An exact model using the state estimate as well as a
Taylor-series-expanded model using both of the state estimate and its error
covariance, are derived. Moreover, the difference between the two approximated
CRLBs is also formulated analytically. By employing the particle filter (PF)
and the unscented Kalman filter (UKF) to compute, simulation results reveal
that the approximated CRLB using mean-covariance-based model outperforms that
using the mean-based exact model. It is also shown that the theoretical
difference between the estimated CRLBs can be improved through an improved
filtering method.

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Stochastic Exponential Integrators for a Finite Element Discretization of SPDEs. (arXiv:1005.5315v1 [math.NA])

Stochastic Exponential Integrators for a Finite Element Discretization of SPDEs. (arXiv:1005.5315v1 [math.NA]): "

We consider the numerical approximation of general semilinear parabolic
stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by additive space-time
noise. In contrast to the standard time stepping methods which uses basic
increments of the noise and the approximation of the exponential function by a
rational fraction, we introduce a new scheme, designed for finite elements,
finite volumes or finite differences space discretization, similar to the
schemes in \cite{Jentzen3,Jentzen4} for spectral methods and \cite{GTambue} for
finite element methods. We use the projection operator, the smoothing effect of
the positive definite self-adjoint operator and linear functionals of the noise
in Fourier space to obtain higher order approximations. We consider noise that
is white in time and either in $H^1$ or $H^2$ in space and give convergence
proofs in the mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and in
mean square $ H^{1}$ norm in the presence of an advection term. For the
exponential integrator we rely on computing the exponential of a non-diagonal
matrix. In our numerical results we use two different efficient techniques: the
real fast \Leja points and Krylov subspace techniques. We present results for a
linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear
example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation
motivated from realistic porous media flow.

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Numerical convergence of a one step approximation of an intrgro-differential equation. (arXiv:1005.5344v1 [math.NA])

Numerical convergence of a one step approximation of an intrgro-differential equation. (arXiv:1005.5344v1 [math.NA]): "

We consider a linear partial integro-differential equation that arises in the
modeling of various physical and biological processes. We study the problem in
a spatial periodic domain. We analyze numerical stability and numerical
convergence of a one step approximation of the problem with smooth and
non-smooth initial functions.

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Publicado en Science: El Proyecto Microbioma Humano en números

Publicado en Science: El Proyecto Microbioma Humano en números: "

Actimel es leche fermentada con el microorganismo Lactobacillus casei como aditivo biológico. Este microorganismo se encuentra en la flora bacteriana que forma parte del microbioma humano, todos los microorganismos procariotas, eucariotas y virus que pueblan el cuerpo humano. En 2007, el NIH (National Institutes of Health) de los EEUU inició el Proyecto Microbioma Humano (Human Microbiome Project o HMP). Uno de sus objetivos es producir el genoma de referencia de al menos 900 bacterias del microbioma humano, así como catalogar todos sus genes y desarrollar técnicas de metagenómica y pangenómica para analizarlos. Hasta el momento se ha secuenciado el genoma de 356 microbios, de los que sólo 178 han sido completamente anotados, y se han identificado 547 968 polipéptidos con más de 100 aminoácidos. Muchos están “repetidos” pero se han encontrado al menos 30 867 polipéptidos diferentes, de los cuales 29 987 (~ 97%) son únicos. Lo más curioso es la gran biodiversidad del microbioma humano. Se han introducido varias métricas para medir esta biodiversidad y se han aplicado a tres géneros en detalle: 36 cepas de Lactobacillus, 16 de Bifidobacterium y 21 de Bacteroides. ¿Cómo influye la adición oral de L. casei en el resto de la flora bacteriana? Saberlo es muy difícil, pero este tipo de estudios nos permitirán estudiar la población de cepas de bacterias de este género como si se tratara de un organismo “efectivo” (con un genoma “efectivo”) y cómo interactúa con otros organismos “efectivos” de otros géneros. No entraré en más detalles, pues estos trabajos son todavía muy preliminares. Un trabajo en curso que nos cuentan con cierto detalle en The Human Microbiome Jumpstart Reference Strains Consortium, “A Catalog of Reference Genomes from the Human Microbiome,” Science 328: 994-999, 21 May 2010. Muchos se harán de eco de este trabajo, como “Human Microbiome Project: Diversity of Human Microbes Greater Than Previously Predicted,” ScienceDaily, May 20, 2010.

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La dimensión fractal del kernel de Linux es mucho más pequeña que la de la internet

La dimensión fractal del kernel de Linux es mucho más pequeña que la de la internet: "

Los que hemos publicado más de un artículo científico/técnico con la palabra “fractal” en el título sabemos que encontrar fractales por doquier es fácil. El núcleo (kernel) del sistema operativo Linux está formado por una complicada red de programas (subrutinas) que se llaman mutuamente entre ellos. La aplicación del algoritmo PageRank que utiliza el buscador Google permite estudiar las propiedades de esta red de llamadas. El espectro de autovalores y autovectores de la matriz de Google resultante presenta una geometría fractal caracterizada por una dimensión (fractal) no entera. El análisis de 14079, 85756 y 285509 llamadas a subrutina en el kernel de las versiones 2.0.40, 2.4.37.6 y 2.6.32, respectivamente, de Linux muestra que la dicha dimensión fractal es constante e igual aproximadamente a 1’2. ¿Con qué comparar este número? Un análisis similar para la estructura fractal de la WWW (internet) muestra que tiene una dimensión fractal de 4’1. Más aún, para redes con dimensión fractal menor de 2 se puede aplicar la ley de Weyl que caracteriza la red mediante un exponente (fractal). El exponente de Weyl para el kernel de Linux es 0’63 (para la WWW dicha ley no es aplicable). Un análisis interesante sobre todo para los interesados en teoría de redes y un resultado curioso para todos los aficionados a Linux. Saberlo, servir, lo que se dice servir, no sirve para nada, pero seguro que muchos frikis presumen de recordar estos números en más de una campus party. El artículo técnico sobre Linux es L. Ermann, A. D. Chepelianskii, D. L. Shepelyansky, “Fractal Weyl law for Linux Kernel Architecture,” ArXiv, 9 May 2010, y el artículo técnico sobre la WWW (ya aceptado en Phys. Rev. E) es B. Georgeot, O. Giraud, D.L. Shepelyansky, “Spectral properties of the Google matrix of the World Wide Web and other directed networks,” ArXiv, 17 Feb 2010.

¿Matriz de Google? Un grafo dirigido, conjunto de nodos unidos por flechas, se caracteriza bien gracias a una matriz de Google que se construye a partir de los arcos dirigidos entre los nodos de la forma , donde la matriz se obtiene normalizando a la unidad todas las columnas de la matriz de adyacencia (matriz con un uno en la posición si hay un arco entre dichos nodos y un cero en caso contrario), reemplazando las columnas cuyos elementos son cero por , donde es el número total de nodos. El parámetro de relacjión describe la probabilidad de alcanzar un nodo de la red tomando un arco aleatorio. Para el único autovector con $\lambda=1$ es llamado vector de PageRank.

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La teoría de Kurt Ammon sobre el cerebro humano como una máquina creativa

La teoría de Kurt Ammon sobre el cerebro humano como una máquina creativa: "

El cerebro humano parece capaz de realizar tareas que no puede realizar ningún ordenador. Un ordenador sólo puede realizar tareas calculables (o computables). Turing (1969) afirmó que la inteligencia se caracteriza por la creatividad o iniciativa para el procesamiento de conceptos informales. ¿Es el cerebro una máquina creativa? ¿Es calculable computacionalmente la creatividad? Kurt Ammon introduce en “Informal concepts in machines,” ArXiv, 4 May 2010, el concepto de máquina creativa como la que es capaz de evaluar funciones más allá de las posibilidades de una máquina de Turing o de un sistema formal. ¿Existen las máquinas creativas? Su definición se apoya en dos teoremas: el teorema 1 afirma que existe un procedimiento efectivo para generar una función calculable que no está contenida en ninguna enumeración efectiva de funciones calculables, que demuestra utilizando un argumento de diagonalización; y el teorema 2 afirma que existe un procedimiento efectivo para generar una función calculable que no está contenida en ningún sistema formal que incluya predicados sobre dichas funciones, que demuestra usando el teorema 1. ¿Qué significan estos teoremas?

Una función calculable de los números naturales es parcial si no es capaz de dar un valor resultado para todos los números naturales (su dominio es un subconjunto de los naturales). Una función calculable es total en el caso contrario, cuando su dominio son todos los naturales. Obviamente, el problema de la parada implica que no existe ningún algoritmo (máquina de Turing) que pueda decidir si una función calculable parcial es total. Para Ammon, una máquina creativa es la que es capaz de transformar en función total toda función (sea parcial o total) que reciba como entrada. En este sentido un sistema creativo es capaz de calcular valores de funciones no calculables más allá de los límites de cualquier máquina de Turing o sistema formal. Según Ammon, sus teoremas afirman que los procedimientos (máquinas) creativos existen, pero como no pueden ser máquinas de Turing, no podemos describirlos en un sistema formal. Para él, una máquina “inteligente” es una máquina creativa, capaz de calcular más allá de la capacidad de procesamiento de una máquina de Turing.

Si Ammon tiene razón, nunca la inteligencia artificial será capaz de construir un algoritmo (máquina de Turing) inteligente, aunque las máquinas “inteligentes” existen. A los matemáticos les encanta demostrar la existencia de objetos que no se pueden construir (algorítmicamente) o describir (formalmente). Para la mayoría de nosotros es obvio que las máquinas inteligentes existen, nosotros somos una máquina inteligente.

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