The eigenvector corresponding to the second smallest eigenvalue of the
Laplacian of a graph, known as the Fiedler vector, has a number of applications
in areas that include matrix reordering, graph partitioning, protein analysis,
data mining, machine learning, and web search. The computation of the Fiedler
vector has been regarded as an expensive process as it involves solving a large
eigenvalue problem. We present a novel and efficient parallel algorithm for
computing the Fiedler vector of large graphs based on the Trace Minimization
algorithm (Sameh, et.al). We compare the parallel performance of our method
with a multilevel scheme, designed specifically for computing the Fiedler
vector, which is implemented in routine MC73\_Fiedler of the Harwell Subroutine
Library (HSL). In addition, we compare the quality of the Fiedler vector for
the application of weighted matrix reordering and provide a metric for
measuring the quality of reordering.
martes, 23 de marzo de 2010
A Highly Efficient Parallel Algorithm for Computing the Fiedler Vector. (arXiv:1003.3689v1 [cs.NA])
Hoy a las 12:30 se anunciará el ganador del Premio Abel: Mi apuesta es John Horton Conway
El anuncio del Premio Abel (el Nobel noruego para los matemáticos) será hoy, 24 marzo 2010, en una ceremonia de 12:30-13:15, en la Academia Noruega de Ciencias y Letras (NASL), Oslo. “The name of the 2010 Abel Laureate will be announced by the President of the Norwegian Academy of Science and Letters, Nils Christian Stenseth.” Nils Christian Stenseth, Presidente de la NASL anunciará el ganador del millón de dólares (730 mil euros) del premio. Tras el anuncio del premio, Marcus du Sautoy, de la Universidad de Oxford, realizará una llamada por teléfono en vivo y en directo al ganador y le realizará una breve entrevista, para proseguir con una conferencia sobre los logros matemáticos del ganador.
¿Quién será el ganador? La presencia de Du Sautoy nos da una buena pista que apunta hacia el “enorme teorema” de la clasificación de los grupos finitos. Daniel Gorenstein ya falleció. John Griggs Thompson y Jacques Tits ya recibieron el Abel en 2008. Así que todo apunta a … John Horton Conway (Universidad de Princeton).
“El profesor Conway tiene un carisma personal y matemático que le ha dado casi categoría de persona de culto. Las actuaciones de Conway cuando presenta los botines de sus correrías matemáticas son casi mágicas por su calidad. Al principio va entrelazando lo que a simple vista parecen curiosidades o triquiñuelas matemáticas, pero al final de sus charlas llega a respuestas de cuestiones muy profundas de las matemáticas. Cada revelación de una idea fundamental va precedida de su característica risa, como si él también se sorprendiera de hasta dónde ha llegado. Al mismo tiempo va convirtiendo un sala llena de universitarios serios en un grupo de niños traviesos, que se levantan impacientes al final de la charla para ir a jugar con los juguetes matemáticos que él saca de una maletín lleno de curiosidades que suele llevar consigo.” Marcus du Sautoy, “Simetría. Un viaje por los patrones de la naturaleza,” Acantilado, Barcelona, 2009.
sábado, 6 de marzo de 2010
Humor: Ecuaciones deferenciales y el perro de Schrödinger
Ecuaciones "deferenciales." (C) Physics Today, October 2005.
Deferencia (DRAE) (Del lat. defĕrens, -entis, deferente): 1. f. Adhesión al dictamen o proceder ajeno, por respeto o por excesiva moderación; 2. f. Muestra de respeto o de cortesía.
Diferencia (DRAE) (Del lat. differentĭa): 3. f. Controversia, disensión u oposición de dos o más personas entre sí.
El perro de Schrödinger a Erwin sobre su gato. (C) Physics Today, June 2000.
“El milagro de que el lenguaje de las matemáticas permita formular las leyes de la física es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos. Debemos estar agradecidos por ello y esperamos que seguirá siendo válido en un futuro y que se extenderá, para bien o para mal, para nuestro placer, aunque quizás también para nuestro desconcierto, a toda investigación futura.” Eugene Wigner, 1960.
“El próximo gran avance de la inteligencia humana puede producir un método para entender el contenido cualitativo de todas las ecuaciones. Hoy en día no podemos… Hoy en día no podemos comprender si la ecuación de Schrödinger contiene las ranas, las composiciones musicales, o la moral humana, o si no lo hace. No podemos decir si algo más allá, como Dios, es necesario o no. Aún así, todos podemos tener opiniones muy arraigadas en ambos sentidos.” Richard Feynman, 1964.
Fuentes: Frank Wilczek, “Reasonably effective: I. Deconstructing a miracle,” Physics Today, Nov. 2006; Frank Wilczek, “On Absolute Units, I: Choices,” Physics Today, October 2005; Frank Wilczek, “What is Quantum Theory?,” Physics Today, June 2000.
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viernes, 5 de marzo de 2010
La búsqueda del bosón de Higgs. I. ¿Qué es la masa?
Newton, en los Principia, define la masa intuitivamente como ”la cantidad de materia… que deriva de su densidad y volumen.” Según el principio de equivalencia (de Newton) la masa es a la vez una medida de la inercia de un objeto (su oposición a moverse) y una fuente de atracción gravitatoria. En el s. XIX la teoría atómica permitió ver la masa de un bloque de materia como la suma de la masa de sus átomos. Pero esto no responde a ¿qué es realmente la masa? Abraham (1903) y Lorentz (1904) propusieron que la masa del electrón se podía interpretar como “autoenergía” electromagnética. Einstein (1905) con su famosa fórmula E=m c², nos permitió interpretar la inercia de los cuerpos (la masa) como una función de la velocidad, m(v), que se puede dividir en dos términos separados, uno de energía en reposo, m(0), que llamamos masa en reposo m0, y otro de energía en movimiento (o cinética), igual a m0 (1–c/√(c²–v²)). Normalmente entendemos por masa el primer término, la energía en reposo de un cuerpo, el segundo también es importante en cuerpos compuestos. Si un cuerpo está formado por partes móviles, su masa dependerá de la suma de las masas en reposo de las partes más la energía cinética de su movimiento. Veamos lo que esto significa.
La masa en reposo de un átomo es la suma de las masas en reposo de sus electrones y de su núcleo más la energía de enlace electromagnética entre los electrones (partes móviles) y el núcleo (supuesto en reposo). La contribución de este segundo término es muy pequeña en un átomo. En el átomo de hidrógeno con un electrón en su estado fundamental 1S la energía de enlace es sólo de 13′6 eV, es decir, el 1′45×10–10 % de la masa total del átomo (las reacciones químicas aprovechan esta energía). La masa en reposo de un núcleo atómico es la suma de las masas en reposo de sus protones y neutrones más la energía de enlace debida a la fuerza nuclear fuerte que los une. En una partícula alfa (un núcleo de helio 4He) esta energía de enlace constituye el 0′75% de su masa. Un número también muy pequeño pero enorme a escala macroscópica (es la energía aprovechada en los reactores nucleares).
La masa en reposo de un nucleón (protón o neutrón) es otra historia. La suma de las masas en reposo de los tres quarks que lo constituyen aporta menos del 2% de su masa en reposo total. El resto es debida a la energía de enlace que los une y los confina dentro del núcleo, es energía de confinamiento del campo cromodinámico de partones (gluones y pares quark-antiquark virtuales). La masa en reposo de los hadrones, tanto bariones (3 quarks) como mesones (2 quarks) es fundamentalmente energía (cinética). El quark abajo (d, down) tiene una masa en reposo mayor que el quark arriba (u, up). Como estas partículas elementales no se pueden observar aisladas no se conoce exactamente cuánto vale esta masa en reposo, aunque se estima que debe ser entre 1′5-4 y 4-8 para los quarks u y d, respectivamente. La pequeña diferencia de masa entre un protón (uud) y un neutrón (udd), unos 1′29 MeV, es el resultado de la resta entre la diferencia de masas entre los quarks d y u y la autoenergía electromagnética del protón por tener carga positiva (el neutrón es neutro).
El cálculo de la masa de un hadrón utilizando la teoría cromodinámica cuántica (QCD) es muy difícil, sino imposible, con lápiz y papel. Hay que utilizar métodos numéricos (QCD en redes) y supercomputadores. Los resultados numéricos explican bastante bien los resultados observados en los experimentos. Por ello podemos afirmar que casi casi toda la masa visible del universo es energía de confinamiento de quarks en nucleones, ya que la materia luminosa es esencialmente la de los protones y neutrones en las estrellas y nubes de polvo interestelar. La cromodinámica cuántica es por tanto la teoría que explica la práctica totalidad de la materia visible del universo.
La afirmación repetida infinidad de veces de que el bosón de Higgs es el responsable de toda la masa en el Universo es sencillamente falsa. La materia (ordinaria, no la materia oscura) del universo es materia bariónica, cuya masa es energía de confinamiento con una pequeña contribución de masa en reposo, en la que podría influir el bosón de Higgs. El mecanismo de Higgs es responsable de la diferencia entre el electromagnetismo y la fuerza nuclear débil, fuerzas que a alta energía están unificadas en una única fuerza llamada electrodébil. A alta energía, mayor de unos 246 GeV, hay cuatro fotones sin masa (dos cargados y dos neutros). A baja energía, tres de estos fotones adquieren masa. El mecanismo de Higgs explica la ruptura de simetría electrodébil que conduce a dicha diferencia; algo parecido a la diferencia entre el hielo y el agua, son la misma cosa, están compuestas por las mismas moléculas, pero son muy diferentes en sus propiedades.
Se cree que el mecanismo de Higgs y la teoría electrodébil permiten explicar la generación (aparición) de la masa en reposo de los quarks y leptones (electrones y neutrinos). Entender el proceso que impulsa la ruptura de la simetría electrodébil requiere explorar con grandes aceleradores de partículas la escala de energías de Fermi, las energías alrededor de 1 TeV = 1000 GeV (recuerda que la masa de un protón es de 0′938 GeV/c2 = 1.67×10–27 kg), es decir, distancias más pequeñas que 10–18 m. La escala de energías de Fermi puede ocultar otros secretos del universo (física más allá del Modelo Estándar) y el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) que ya está en funcionamiento en el CERN se ha diseñado para llevar a cabo una exploración a fondo de la escala de Fermi
¿Qué pasaría si el bosón de Higgs no fuera encontrado en el LHC del CERN? Todos los experimentos de alta precisión del Modelo Estándar indican que la ruptura de la simetría electrodébil es una realidad. No encontrar el Higgs indicaría que hay otro mecanismo que es responsable de romper la simetría electrodébil, un mecanismo que no deja una señal en forma de partícula elemental. Hay muchas posibilidades. Por ejemplo, una ruptura dinámica de la simetría.
Fuente: Introducción del artículo de Chris Quigg, “Spontaneous Symmetry Breaking as a Basis of Particle Mass,” Reports on Progress in Physics 70: 1019-1054, 2007 [disponible en ArXiv]; también la introducción de Chris Quigg, “Higgs Bosons, Electroweak Symmetry Breaking, and the Physics of the Large Hadron Collider,” Contemporary Physics 48: 1-11, 2007 [disponible en ArXiv].
Nota al pie: “La búsqueda del bosón de Higgs. I,” será la primera de una serie de entradas en este blog que espero que los lectores disfruten.
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